미적분 예제

$y = \frac{x^{3}}{1 - x^{2}}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 1 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.2

$1 - x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.7

곱합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.7.2

$x^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 2.8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 3.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 4

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 (1 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(3 \cdot 1 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.3.2

$- 3 x^{4}$ 를 $2 x^{4}$ 에 더합니다.

$\frac{3 x^{2} - x^{4}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{4} + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5

$- x^{4} + 3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1

$- x^{4}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 3 x^{2}}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.2

$3 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.3

$x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.6

분모를 간단히 합니다.

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단계 5.6.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

단계 5.6.2

$- x^{2}$ 와 $1^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

단계 5.6.3

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = x$ 입니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

단계 5.6.4

$(1 + x) (1 - x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 5.7

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) + 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 5.8

$3$ 을 $- 1 (- 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (- (x^{2}) - 1 (- 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 5.9

$- (x^{2}) - 1 (- 3)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (- (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 5.10

$- (x^{2} - 3)$ 을 $- 1 (x^{2} - 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (- 1 (x^{2} - 3))}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

단계 5.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} (x^{2} - 3)}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$