미적분 예제

$y = \frac{x^{5}}{4 - x^{4}}$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 4 - x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 - x^{4}) \frac{d}{d x} [x^{5}] - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(4 - x^{4}) (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.2

$4 - x^{4}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 \cdot (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [4 - x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $4 - x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.4

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 에 더합니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} \frac{d}{d x} [- x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{4}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} - x^{5} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.7

곱합니다.

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단계 2.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 1 x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.7.2

$x^{5}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 2.8

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{5} (4 x^{3})}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3} x^{5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{3 + 5} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 3.3

$3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + x^{8} \cdot 4}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 4

$x^{8}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{5 (4 - x^{4}) x^{4} + 4 \cdot x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(5 \cdot 4 + 5 (- x^{4})) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 \cdot 4 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4}) x^{4} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3.1.2

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 5.3.1.2.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- (x^{4} x^{4})) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{4 + 4}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3.1.2.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{20 x^{4} + 5 (- x^{8}) + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3.1.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{20 x^{4} - 5 x^{8} + 4 x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.3.2

$- 5 x^{8}$ 를 $4 x^{8}$ 에 더합니다.

$\frac{20 x^{4} - x^{8}}{{(4 - x^{4})}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{- x^{8} + 20 x^{4}}{{(- x^{4} + 4)}^{2}}$