미적분 예제

$y = \frac{x^{3} + 1}{8 x}$

단계 1

$\frac{1}{8}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3} + 1}{8 x}$ 의 미분은 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 1}{x}]$

단계 2

$f (x) = x^{3} + 1$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 1] - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3.4

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$

단계 8.2

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} + 1)}{8 x^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1 \cdot 1}{8 x^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{8 x^{2}}$

단계 9.2.2

$3 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{3} - 1}{8 x^{2}}$