미적분 예제

$y = \frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x) - \frac{x^{3}}{9}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3} \cdot \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{x^{3}}{3}$ 와 $\ln (x)$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \ln (x)}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.2

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{3} \ln (x)}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.4

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{3} \frac{1}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.6

$x^{3}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7

$x^{3}$ 및 $x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.1

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.7.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7.2.2

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 2.7.2.5

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{9}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{9}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x^{3}}{9}$ 의 미분은 $- \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{1}{9} (3 x^{2})$

단계 3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - 3 (\frac{1}{9}) x^{2}$

단계 3.4

$- 3$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3}{9} x^{2}$

단계 3.5

$\frac{- 3}{9}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- 3 x^{2}}{9}$

단계 3.6

$- 3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{9}$

단계 3.6.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.6.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 (3)}$

단계 3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 3}$

단계 3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) + \frac{- x^{2}}{3}$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{3} (\ln (x) (3 x^{2})) - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{\ln (x)}{3} (3 x^{2}) - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.2

$3$ 와 $\frac{\ln (x)}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x)}{3} x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.3

$\frac{3 \ln (x)}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \frac{3 \ln (x) x^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.4.2

$\ln (x) x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{3} x^{2} + \ln (x) x^{2} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{3} x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{1}{3} x^{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.6

$\frac{1}{3} x^{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3}{3} - \frac{x^{2}}{3}$

단계 4.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

단계 4.2.8

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2}}{3} \cdot 3 - x^{2}}{3}$

단계 4.2.9

$\frac{x^{2}}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{x^{2} \cdot 3}{3} - x^{2}}{3}$

단계 4.2.10

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 \cdot x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

단계 4.2.11

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.11.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{\frac{3 x^{2}}{3} - x^{2}}{3}$

단계 4.2.11.2

$x^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{x^{2} - x^{2}}{3}$

단계 4.2.12

$x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{3}$

단계 4.2.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 (0)}{3}$

단계 4.2.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

단계 4.2.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}$

단계 4.2.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\ln (x) x^{2} + \frac{0}{1}$

단계 4.2.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (x) x^{2} + 0$

단계 4.2.14

$\ln (x) x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (x) x^{2}$

단계 4.3

$\ln (x) x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$x^{2} \ln (x)$