미적분 예제

$y = \frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}$

단계 1

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{196 x^{8} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$ 을 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$196 x^{8}$ 을 ${(14 x^{4})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{225}{x^{2}}}]$

단계 1.1.2

$225$ 을 $15^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + \frac{15^{2}}{x^{2}}}]$

단계 1.1.3

$\frac{15^{2}}{x^{2}}$ 을 ${(\frac{15}{x})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 420 x^{3} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

단계 1.1.4

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$420 x^{3} = 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x}$

단계 1.1.5

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4})}^{2} + 2 \cdot (14 x^{4}) \cdot \frac{15}{x} + {(\frac{15}{x})}^{2}}]$

단계 1.1.6

$a = 14 x^{4}$ 이고 $b = \frac{15}{x}$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot \sqrt{{(14 x^{4} + \frac{15}{x})}^{2}}]$

단계 1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} \cdot (14 x^{4} + \frac{15}{x})]$

단계 2

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ , $g (x) = 14 x^{4} + \frac{15}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [14 x^{4} + \frac{15}{x}] + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $14 x^{4} + \frac{15}{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{4}} (\frac{d}{d x} [14 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.2

$14$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $14 x^{4}$ 의 미분은 $14 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4}} (14 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (14 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.4

$4$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{15}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.5

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{15}{x}$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.6

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.7

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} + 15 (- x^{- 2})) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$- 1$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

단계 3.8.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

단계 3.8.3

${(x^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

단계 3.8.3.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

단계 3.9

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 x^{- 2}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 x^{- 5})$

단계 4.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3} - 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + (14 x^{4} + \frac{15}{x}) (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{x^{4}} (56 x^{3}) + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$56$ 와 $\frac{1}{x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x^{4}} x^{3} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.2

$\frac{56}{x^{4}}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{56 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.3

$x^{3}$ 및 $x^{4}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1

$56 x^{3}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.2.1

$x^{4}$ 에서 $x^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{3} \cdot 56}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- 15 \frac{1}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.4

$- 15$ 와 $\frac{1}{x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{- 15}{x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{56}{x} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{15}{x^{2}}) + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.6

$\frac{1}{x^{4}}$ 에 $\frac{15}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4} x^{2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.7

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.7.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{4 + 2}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.7.2

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- 4 \frac{1}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.8

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} \frac{- 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + 14 x^{4} (- \frac{4}{x^{5}}) + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.10

$- 1$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - 14 x^{4} \frac{4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.11

$- 14$ 와 $\frac{4}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 14 \cdot 4}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.12

$- 14$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + x^{4} \frac{- 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.13

$x^{4}$ 와 $\frac{- 56}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.14

$x^{4}$ 의 왼쪽으로 $- 56$ 이동하기

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56 \cdot x^{4}}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.15

$x^{4}$ 및 $x^{5}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.15.1

$- 56 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{5}} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.15.2.1

$x^{5}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{x^{4} \cdot - 56}{x^{4} x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} + \frac{- 56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- 4 \frac{1}{x^{5}})$

단계 4.5.17

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} \cdot \frac{- 4}{x^{5}}$

단계 4.5.18

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} + \frac{15}{x} (- \frac{4}{x^{5}})$

단계 4.5.19

$\frac{15}{x}$ 에 $\frac{4}{x^{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{15 \cdot 4}{x \cdot x^{5}}$

단계 4.5.20

$15$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x \cdot x^{5}}$

단계 4.5.21

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.21.1

$x$ 에 $x^{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.21.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1} x^{5}}$

단계 4.5.21.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{1 + 5}}$

단계 4.5.21.2

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{56}{x} - \frac{15}{x^{6}} - \frac{56}{x} - \frac{60}{x^{6}}$

단계 4.5.22

$\frac{56}{x}$ 에서 $\frac{56}{x}$ 을 뺍니다.

$- \frac{15}{x^{6}} + 0 - \frac{60}{x^{6}}$

단계 4.5.23

$- \frac{15}{x^{6}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{15}{x^{6}} - \frac{60}{x^{6}}$

단계 4.5.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 15 - 60}{x^{6}}$

단계 4.5.25

$- 15$ 에서 $60$ 을 뺍니다.

$\frac{- 75}{x^{6}}$

단계 4.5.26

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{75}{x^{6}}$