미적분 예제

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x + \sqrt{x}}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}}]$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x + x^{\frac{1}{2}}}$ 을(를) ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}]$

단계 1.3

$\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}}}$ 을 ${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

단계 1.4

${({(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

단계 1.4.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1}{3}}]$

단계 1.4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3}}]$

단계 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ , $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{3}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7

분수를 통분합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3} {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.2

${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + x^{\frac{1}{2}})}^{- \frac{4}{3}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x + x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

단계 10

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

단계 11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

단계 12

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

단계 13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

단계 14

분자를 간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

단계 14.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

단계 15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

단계 17

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

$- \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.4

$- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 18.5.1

$- 1 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.5.1.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5.1.2

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5.1.3

$- 1 (1) - (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5.1.4

$- 1 (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 을 $- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{- (\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.6

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$

단계 18.7

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ 을 곱합니다.

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단계 18.7.1

$\frac{1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}}}$ 에 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{3 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 18.7.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{2}})}^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{2}}}$