미적분 예제

$y = \frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\frac{1}{{(4 x + 7)}^{3}}$ 을 ${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}]$

단계 1.2

${({(4 x + 7)}^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{3 \cdot - 1}]$

단계 1.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 7)}^{- 3}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 4 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x + 7$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

단계 2.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $4 x + 7$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x + 7]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $4 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + \frac{d}{d x} [7])$

단계 3.5

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} (4 + 0)$

단계 3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 3 {(4 x + 7)}^{- 4} \cdot 4$

단계 3.6.2

$4$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$- 12 {(4 x + 7)}^{- 4}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 12 \frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$

단계 4.2

항을 묶습니다.

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단계 4.2.1

$- 12$ 와 $\frac{1}{{(4 x + 7)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 12}{{(4 x + 7)}^{4}}$

단계 4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{12}{{(4 x + 7)}^{4}}$