미적분 예제

$y = \frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2 e^{x}}{x^{2} + 1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{2} + 1}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4

분수를 통분합니다.

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단계 4.4.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - e^{x} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 4.4.3

$2$ 와 $\frac{(x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 ((x^{2} + 1) e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 (x^{2} e^{x}) + 2 (1 e^{x}) + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.3.1.1

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 2 (- 2 e^{x} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.3.1.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.3.2

$2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 e^{x} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 4 x e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.1

$2 e^{x} x^{2} - 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.5.1.1

$2 e^{x} x^{2}$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) - 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.1.2

$- 4 e^{x} x$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.1.3

$2 e^{x}$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.1.4

$2 e^{x} (x^{2}) + 2 e^{x} (- 2 x)$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.1.5

$2 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 2 e^{x} (1)$ 에서 $2 e^{x}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.2

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 5.5.2.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.2.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 5.5.2.3

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{2 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

단계 5.5.2.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{2 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$