미적분 예제

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \sqrt{25 - x^{2}})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - x^{2}}]$

단계 1.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{x^{2}}{2}$ 와 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}{2}]$

단계 1.2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 을(를) ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

단계 1.3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 25 - x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $25 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $25 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 8.4

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 9

합의 법칙에 의해 $25 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 10

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 11

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 12

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14

분수를 통분합니다.

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단계 14.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14.2

$- 2$ 와 $\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 14.3

$\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 15

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 17

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 18

$- 2 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 19

공약수로 약분합니다.

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단계 19.1

$2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 19.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 19.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 20

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 21

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

단계 22

다시 정렬합니다.

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단계 22.1

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

단계 22.2

${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

단계 23

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})$

단계 24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 25

지수를 더하여 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 25.1

${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 25.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 25.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 25.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 25.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 26

$2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 27

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28

간단히 합니다.

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단계 28.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 28.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 28.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 28.2.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.2.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 28.2.1.2.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.2.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.1.4

$25$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.2.2

$- x^{3}$ 에서 $2 x^{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 3 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.3

$- 3 x^{3} + 50 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 28.3.1

$- 3 x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.3.2

$50 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.3.3

$x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- 3 x^{2} + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.4

$- 3 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.5

$50$ 을 $- 1 (- 50)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.6

$- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (- (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.7

$- (3 x^{2} - 50)$ 을 $- 1 (3 x^{2} - 50)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 28.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x (3 x^{2} - 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$