미적분 예제

$y = \frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{5 x^{4}} - \frac{5}{3 x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{4}}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{5 x^{4}}$ 의 미분은 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 입니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.2

$\frac{1}{x^{4}}$ 을 ${(x^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{4}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.4

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.5

${(x^{4})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{5} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.5.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.6

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.7

지수를 더하여 $x^{- 8}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 2.7.1

$x^{3}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{5} (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.7.3

$3$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{5} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.8

$- 4$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{5} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.9

$\frac{- 4}{5}$ 와 $x^{- 5}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 x^{- 5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{3 x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{5}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{5}{3 x^{2}}$ 의 미분은 $- \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- x^{- 4} (2 x))$

단계 3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 4} x)$

단계 3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{1 - 4})$

단계 3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} - \frac{5}{3} (- 2 x^{- 3})$

단계 3.10

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + 2 (\frac{5}{3}) x^{- 3}$

단계 3.11

$2$ 와 $\frac{5}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{2 \cdot 5}{3} x^{- 3}$

단계 3.12

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3} x^{- 3}$

단계 3.13

$\frac{10}{3}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10 x^{- 3}}{3}$

단계 3.14

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{4}{5 x^{5}} + \frac{10}{3 x^{3}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{10}{3 x^{3}} - \frac{4}{5 x^{5}}$