미적분 예제

$y = \frac{1 + \ln (x)}{1 - \ln (x)}$

단계 1

$f (x) = 1 + \ln (x)$ , $g (x) = 1 - \ln (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $1 - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 에 더합니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} - (1 + \ln (x)) (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4.5

곱합니다.

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단계 4.5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + 1 (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 4.5.2

$1 + \ln (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 5

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{(1 - \ln (x)) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + (1 + \ln (x)) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$1 \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{1}{x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 6.3.1.1

$- \ln (x) \frac{1}{x}$ 를 $\ln (x) \frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} + 0}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3.1.2

$1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1 \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.3.2.1

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3.2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{1 + 1}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.4

항을 묶습니다.

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단계 6.4.1

$\frac{\frac{2}{x}}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$

단계 6.4.2

$\frac{2}{x}$ 에 $\frac{1}{{(1 - \ln (x))}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{x {(1 - \ln (x))}^{2}}$