미적분 예제

$y = \frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x) - \frac{x}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4} \cdot \sinh (2 x)$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\sinh (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2

$f (x) = \sinh (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\sinh (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2.2

$\sinh (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cosh (u)$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\cosh (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\cosh (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.6

$\cosh (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{4} (2 \cdot \cosh (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.7

$2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{4} \cosh (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.8

$\frac{2}{4}$ 와 $\cosh (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.9

$2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.1

$2 \cosh (2 x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\cosh (2 x))}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.9.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cosh (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- \frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{x}{2}$ 의 미분은 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1$

단계 3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\cosh (2 x)}{2} - \frac{1}{2}$