미적분 예제

$y = \frac{3 x - 4}{2 x^{2} - 5 x + 7}$

단계 1

$f (x) = 3 x - 4$ , $g (x) = 2 x^{2} - 5 x + 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.5

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{(2 x^{2} - 5 x + 7) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.6.2

$2 x^{2} - 5 x + 7$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{3 \cdot (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 5 x + 7]}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 5 x + 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.11

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.13

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + \frac{d}{d x} [7])}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.14

$7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5 + 0)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 2.15

$4 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 x^{2} - 5 x + 7) - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 - (3 x - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} + 3 (- 5 x) + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 3 \cdot 7 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

$3$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- (3 x) - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.4.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x - - 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.2

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 + (- 3 x + 4) (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.5

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 3 x + 4) (4 x - 5)$ 를 전개합니다.

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단계 3.3.1.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x - 5) + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x - 5)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 x (4 x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.6.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x \cdot x - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1.6.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 3 \cdot 4 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.3

$- 3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} - 3 x \cdot - 5 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.4

$- 5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.5

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x + 4 \cdot - 5}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.1.6

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 15 x + 16 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.1.6.2

$15 x$ 를 $16 x$ 에 더합니다.

$\frac{6 x^{2} - 15 x + 21 - 12 x^{2} + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.2

$6 x^{2}$ 에서 $12 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6 x^{2} - 15 x + 21 + 31 x - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 15 x$ 를 $31 x$ 에 더합니다.

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 21 - 20}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.3.4

$21$ 에서 $20$ 을 뺍니다.

$\frac{- 6 x^{2} + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.4

$- 6 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (6 x^{2}) + 16 x + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.5

$16 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (6 x^{2}) - (- 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.6

$- (6 x^{2}) - (- 16 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) + 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.7

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.8

$- (6 x^{2} - 16 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.9

$- (6 x^{2} - 16 x - 1)$ 을 $- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (6 x^{2} - 16 x - 1)}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$

단계 3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{6 x^{2} - 16 x - 1}{{(2 x^{2} - 5 x + 7)}^{2}}$