미적분 예제

$y = \frac{4 - 3 x}{3 x^{2} + x}$

단계 1

$f (x) = 4 - 3 x$ , $g (x) = 3 x^{2} + x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [4 - 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.2

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 에 더합니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) (- 3 \cdot 1) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{(3 x^{2} + x) \cdot - 3 - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.6.2

$3 x^{2} + x$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$\frac{- 3 \cdot (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.8

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.10

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 2.11

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2} + x) - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x - (4 - 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 3 (3 x^{2}) - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.1

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 1 \cdot 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 - (- 3 x)) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.2.2

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x + (- 4 + 3 x) (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.3

FOIL 계산법을 이용하여 $(- 4 + 3 x) (6 x + 1)$ 를 전개합니다.

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단계 3.3.1.3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x + 1) + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x + 1)}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 4 (6 x) - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1.4.1.1

$6$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 \cdot 1 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.2

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.1.4.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.5

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x \cdot 1}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.1.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 24 x - 4 + 18 x^{2} + 3 x}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.1.4.2

$- 24 x$ 를 $3 x$ 에 더합니다.

$\frac{- 9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4 + 18 x^{2}}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.2

$- 9 x^{2}$ 를 $18 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{9 x^{2} - 3 x - 21 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.3.3

$- 3 x$ 에서 $21 x$ 을 뺍니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(3 x^{2} + x)}^{2}}$

단계 3.4

분모를 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

$3 x^{2} + x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.4.1.1

$3 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x)}^{2}}$

단계 3.4.1.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x^{1})}^{2}}$

단계 3.4.1.3

$x^{1}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x) + x \cdot 1)}^{2}}$

단계 3.4.1.4

$x (3 x) + x \cdot 1$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{{(x (3 x + 1))}^{2}}$

단계 3.4.2

$x (3 x + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{9 x^{2} - 24 x - 4}{x^{2} {(3 x + 1)}^{2}}$