미적분 예제

$y = \frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$

단계 1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{4 \ln (x + 6)}{x^{2}}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 6)}{x^{2}}]$

단계 2

$f (x) = \ln (x + 6)$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

단계 3

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 6)] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x + 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x + 6$ 로 바꿉니다.

$4 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$\frac{1}{x + 6}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \frac{d}{d x} [x + 6] - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.2

합의 법칙에 의해 $x + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + \frac{d}{d x} [6]) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.4

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} (1 + 0) - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} \cdot 1 - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 5.5.2

$\frac{x^{2}}{x + 6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

단계 6

$\frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ 에 $\frac{x + 6}{x + 6}$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{x + 6}{x + 6} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

단계 7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

조합합니다.

$4 \frac{(x + 6) (\frac{x^{2}}{x + 6} - \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

단계 7.3

$x + 6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

공약수로 약분합니다.

$4 \frac{(x + 6) \frac{x^{2}}{x + 6} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

단계 7.3.2

수식을 다시 씁니다.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 6) x^{4}}$

단계 8

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- \ln (x + 6) (2 x))}{(x + 6) x^{4}}$

단계 9

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$

단계 9.2

$4$ 와 $\frac{x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x)}{(x + 6) x^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 (x^{2} + (x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{(x + 6) x^{4}}$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- 2 \ln (x + 6) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.1

$2$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 2 \ln (x + 6)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 ((x + 6) (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (x (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) + 6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.4

$6 (- \ln ({(x + 6)}^{2}) x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.4.1

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 (\ln ({(x + 6)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.4.2

$\ln ({(x + 6)}^{2})$ 와 $- 6$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.4.3

$6$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 6 \cdot \ln ({(x + 6)}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x (\ln ({(x + 6)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.5.1

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.5.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.5.1.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.5.2

${({(x + 6)}^{2})}^{6}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 6}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.5.2.2

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}) - \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{2} + 4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.7

$4 (- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2}))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.7.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - 4 (x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.7.2

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \ln ({(x + 6)}^{2})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) + 4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.8

$4 (- \ln ({(x + 6)}^{12}) x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.8.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 (\ln ({(x + 6)}^{12}) x)}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.8.2

$\ln ({(x + 6)}^{12})$ 와 $- 4$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.8.3

$4$ 를 로그 안으로 옮겨 $- 4 \cdot \ln ({(x + 6)}^{12})$ 을 간단히 합니다.

$\frac{4 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4})) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.9

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.9.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 6)}^{2})}^{4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.9.2

${({(x + 6)}^{2})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.9.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{2 \cdot 4}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.9.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({({(x + 6)}^{12})}^{4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.9.3

${({(x + 6)}^{12})}^{4}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.3.1.9.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{12 \cdot 4}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.1.9.3.2

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.3.2

$4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}) x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x \cdot x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1

$x$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1} x^{4} + 6 x^{4}}$

단계 10.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{1 + 4} + 6 x^{4}}$

단계 10.4.2

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.5

$4 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.5.1

$4 x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x) - x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8}) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.5.2

$- x^{2} \ln ({(x + 6)}^{8})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) - x \ln ({(x + 6)}^{48})}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.5.3

$- x \ln ({(x + 6)}^{48})$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.5.4

$x (4 x) + x (- x \ln ({(x + 6)}^{8}))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.5.5

$x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8})) + x (- \ln ({(x + 6)}^{48}))$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{5} + 6 x^{4}}$

단계 10.6

$x^{5} + 6 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.6.1

$x^{5}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + 6 x^{4}}$

단계 10.6.2

$6 x^{4}$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 6}$

단계 10.6.3

$x^{4} x + x^{4} \cdot 6$ 에서 $x^{4}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x \ln ({(x + 6)}^{8}) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

단계 10.7

$8$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x + 6)}^{8})$ 을 전개합니다.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - \ln ({(x + 6)}^{48}))}{x^{4} (x + 6)}$

단계 10.8

$48$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({(x + 6)}^{48})$ 을 전개합니다.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x^{4} (x + 6)}$

단계 10.9

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.9.1

$x^{4} (x + 6)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

단계 10.9.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x (4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6)))}{x (x^{3} (x + 6))}$

단계 10.9.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x - x (8 \ln (x + 6)) - (48 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.10.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 1 \cdot 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.2

$- 1$ 에 $48$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.3

$4 x - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.10.3.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x) - 8 x \ln (x + 6) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.3.2

$- 8 x \ln (x + 6)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) - 48 \ln (x + 6)}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.3.3

$- 48 \ln (x + 6)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.3.4

$4 (x) + 4 (- 2 x \ln (x + 6))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$

단계 10.10.3.5

$4 (x - 2 x \ln (x + 6)) + 4 (- 12 \ln (x + 6))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (x - 2 x \ln (x + 6) - 12 \ln (x + 6))}{x^{3} (x + 6)}$