미적분 예제

$y = \frac{5}{2} \cdot (x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3})$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$x^{3}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5}{2} \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

단계 1.2

분수를 통분합니다.

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단계 1.2.1

$\frac{x^{3} \cdot 5}{2}$ 와 ${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3} \cdot 5 {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

단계 1.2.2

$x^{3}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}]$

단계 1.3

$\frac{5}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$ 의 미분은 $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$ 입니다.

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} {(4 x^{5} - 5)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} \frac{d}{d x} [{(4 x^{5} - 5)}^{3}] + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 4 x^{5} - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{5} - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $4 x^{5} - 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 5]) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{5} - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.3

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.4

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4} + 0)) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$20 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{4})) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 4.6.2

$20$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2} (x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2} x^{4}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{2} (x^{4} x^{3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{2} (x^{4 + 3} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 5.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 6

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + {(4 x^{5} - 5)}^{3} (3 x^{2}))$

단계 7

${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + 3 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{2} (x^{7} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2})) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2

항을 묶습니다.

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단계 8.2.1

$x^{7}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{7} \cdot 5}{2} (60 {(4 x^{5} - 5)}^{2}) + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.2

$60$ 와 $\frac{x^{7} \cdot 5}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{60 (x^{7} \cdot 5)}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.3

$5$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$\frac{300 x^{7}}{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.4

$\frac{300 x^{7}}{2}$ 와 ${(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.5

$300$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.5.1

$300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 (1)} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2})}{2 \cdot 1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}}{1} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.5.2.4

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{5}{2} (3 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.6

$3$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{3 \cdot 5}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.7

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15}{2} ({(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2})$

단계 8.2.8

${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 와 $\frac{15}{2}$ 을 묶습니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2} x^{2}$

단계 8.2.9

$\frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{{(4 x^{5} - 5)}^{3} \cdot 15 x^{2}}{2}$

단계 8.2.10

${(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + \frac{15 \cdot {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

단계 8.2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

단계 8.2.12

$150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

단계 8.2.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{150 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} \cdot 2 + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

단계 8.2.14

$2$ 에 $150$ 을 곱합니다.

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 {(4 x^{5} - 5)}^{3} x^{2}}{2}$

단계 8.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

단계 8.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

$300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2} + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 에서 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 8.4.1.1

$300 x^{7} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 에서 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}}{2}$

단계 8.4.1.2

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{3}$ 에서 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)}{2}$

단계 8.4.1.3

$15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5}) + 15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (4 x^{5} - 5)$ 에서 $15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (20 x^{5} + 4 x^{5} - 5)}{2}$

단계 8.4.2

$20 x^{5}$ 를 $4 x^{5}$ 에 더합니다.

$\frac{15 x^{2} {(4 x^{5} - 5)}^{2} (24 x^{5} - 5)}{2}$