미적분 예제

$y = 5^{x^{3} + \cos (2 x)}$

단계 1

$f (x) = 5^{x}$ , $g (x) = x^{3} + \cos (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{3} + \cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [5^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

단계 1.2

$a$ = $5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{u_{1}} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{3} + \cos (2 x)$ 로 바꿉니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) \frac{d}{d x} [x^{3} + \cos (2 x)]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} + \cos (2 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 가 됩니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)])$

단계 3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 4.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

단계 4.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$

단계 4.4.2

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} \ln (5) (3 x^{2} - 2 \sin (2 x))$ 인수를 다시 정렬합니다.

$5^{x^{3} + \cos (2 x)} (3 x^{2} - 2 \sin (2 x)) \ln (5)$