미적분 예제

$y = \frac{42}{\sqrt{49 + x^{2}}}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{49 + x^{2}}$ 을(를) ${(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.2

$42$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$42 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 1.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.3.1

$\frac{1}{{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$42 \frac{d}{d x} [{({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 1.3.2

${({(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 1.3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 1.3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$42 \frac{d}{d x} [{(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = 49 + x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $49 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$42 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$42 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $49 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$42 (- \frac{1}{2} {(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 8

${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$42 (- \frac{{(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(49 + x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$42 (- \frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 9.2

$- 1$ 에 $42$ 을 곱합니다.

$- 42 (\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}])$

단계 10

$\frac{1}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $- 42$ 을 묶습니다.

$\frac{- 42}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 11

$- 42$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 12

공약수로 약분합니다.

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단계 12.1

$2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 ({(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 {(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [49 + x^{2}]$

단계 14

합의 법칙에 의해 $49 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [49] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 15

$49$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $49$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $49$ 입니다.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 16

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 에 더합니다.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 17

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

단계 18

분수를 통분합니다.

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단계 18.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

단계 18.2

$- 2$ 와 $\frac{21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 21}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

단계 18.3

$- 2$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

단계 18.4

$\frac{- 42}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{- 42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 18.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{42 x}{{(49 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$