미적분 예제

$y = \frac{4 x + 5}{\sqrt{x}}$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x + 5}{x^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2

$f (x) = 4 x + 5$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

단계 4

간단히 합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 5

합의 법칙에 의해 $4 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 6

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 9

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (4 + 0) - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 10

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 4 - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 10.2

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

단계 11

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

단계 12

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

단계 13

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

단계 14

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

단계 15

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

단계 15.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

단계 16

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

단계 17

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

단계 18

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + (- (4 x) - 1 \cdot 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - (4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1.2.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.2.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 2 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.3

$- 2$ 와 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.4

$x$ 와 $\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 2}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.5

음의 지수 법칙 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분자로 이동합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 19.3.1.6.1

$x^{- \frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6.2

$x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.3.1.6.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.6.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.7

$x^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $- 2$ 이동하기

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.8

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.9

$- 5$ 와 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.1.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.3.2

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 뺍니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 19.4.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.2

$2 x^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.4.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.2

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.4.4.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.2.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{1} - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.3

$2 \cdot 2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.4.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

단계 19.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

단계 19.6

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

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단계 19.6.1

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

단계 19.6.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{4 x - 5}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

단계 19.6.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

단계 19.6.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

단계 19.6.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

단계 19.6.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{4 x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$