미적분 예제

$y = \frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{3 \sqrt{x}} + \frac{1}{4 x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 \sqrt{x}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.3

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.4.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.5

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2}{3} (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.6

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.7

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.8

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.10

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.10.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.10.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.12

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.13

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x^{- 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14

지수를 더하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 에 $x^{- 1}$ 을 곱합니다.

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단계 2.14.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.14.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.14.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.16

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.17

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.18

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1)}{6 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.19

공약수로 약분합니다.

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단계 2.19.1

$6 x^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{2 (1)}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.19.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (3 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 2.19.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 입니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

단계 3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

단계 3.5

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.5.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

단계 3.5.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

단계 3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

단계 3.7

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

단계 3.9

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

단계 3.10

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

단계 3.11

$\frac{- 2}{4}$ 와 $x^{- 3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

단계 3.12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

단계 3.13

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.13.2.1

$4 x^{3}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

단계 3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

단계 3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

단계 3.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2 x^{3}} - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$