미적분 예제

$y = 2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$

단계 1

합의 법칙에 의해 $2^{x} \csc (2 x) + \ln (\cos (x))$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [2^{x} \csc (2 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = \csc (2 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{x} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.2

$f (x) = \csc (x)$ , $g (x) = 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.2.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$2^{x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.5

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \cdot 1)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2^{x} (- \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 2) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.1.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

단계 3.3

$\frac{1}{\cos (x)}$ 을 $\sec (x)$ 로 변환합니다.

$2^{x} (- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)) + \csc (2 x) (2^{x} \ln (2)) + \sec (x) (- \sin (x))$

단계 4

항을 다시 정렬합니다.

$- 2 \cdot 2^{x} \cot (2 x) \csc (2 x) + 2^{x} \csc (2 x) \ln (2) - \sec (x) \sin (x)$