미적분 예제

$y = - \frac{3}{5 x + 2}$

단계 1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{3}{5 x + 2}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x + 2}]$

단계 1.2

$\frac{1}{5 x + 2}$ 을 ${(5 x + 2)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{- 1}]$

단계 2

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = 5 x + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 2.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $5 x + 2$ 로 바꿉니다.

$- 3 (- {(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$3 ({(5 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.5

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.6

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} (5 + 0)$

단계 3.7

식을 간단히 합니다.

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단계 3.7.1

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 {(5 x + 2)}^{- 2} \cdot 5$

단계 3.7.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$15 {(5 x + 2)}^{- 2}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$15 \frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$

단계 4.2

$15$ 와 $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{15}{{(5 x + 2)}^{2}}$