미적분 예제

$y = \frac{3 x^{5} + 6}{x^{3}}$

단계 1

$f (x) = 3 x^{5} + 6$ , $g (x) = x^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(x^{3})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

단계 2.1.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{5} + 6] - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $3 x^{5} + 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]$ 가 됩니다.

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{5}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$\frac{x^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x^{3} (3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.5

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + \frac{d}{d x} [6]) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.6

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$\frac{x^{3} (15 x^{4} + 0) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 2.7

$15 x^{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x^{3} (15 x^{4}) - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 3.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{x^{7} \cdot 15 - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 4

$x^{7}$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$\frac{15 \cdot x^{7} - (3 x^{5} + 6) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

단계 5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{15 x^{7} - (3 x^{5} + 6) (3 x^{2})}{x^{6}}$

단계 6

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5} + 6) x^{2}}{x^{6}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 x^{7} + (- 3 (3 x^{5}) - 3 \cdot 6) x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{5}) x^{2} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.3.1.1

지수를 더하여 $x^{5}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1.1.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 (x^{2} x^{5})) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{2 + 5}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3.1.1.3

$2$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{15 x^{7} - 3 (3 x^{7}) - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3.1.2

$3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 3 \cdot 6 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3.1.3

$- 3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{15 x^{7} - 9 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.3.2

$15 x^{7}$ 에서 $9 x^{7}$ 을 뺍니다.

$\frac{6 x^{7} - 18 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.4

$6 x^{7} - 18 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.4.1

$6 x^{7}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) - 18 x^{2}}{x^{6}}$

단계 7.4.2

$- 18 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)}{x^{6}}$

단계 7.4.3

$6 x^{2} (x^{5}) + 6 x^{2} (- 3)$ 에서 $6 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{6 x^{2} (x^{5} - 3)}{x^{6}}$

단계 7.5

$x^{2}$ 및 $x^{6}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.1

$6 x^{2} (x^{5} - 3)$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{6}}$

단계 7.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.5.2.1

$x^{6}$ 에서 $x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

단계 7.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} (6 (x^{5} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

단계 7.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6 (x^{5} - 3)}{x^{4}}$