미적분 예제

$y = {(6 - e^{x})}^{5}$

단계 1

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = 6 - e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $6 - e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

단계 1.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $6 - e^{x}$ 로 바꿉니다.

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [6 - e^{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $6 - e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 가 됩니다.

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

단계 2.2

$6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ 에 더합니다.

$5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

단계 2.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- e^{x}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$5 {(6 - e^{x})}^{4} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.5

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$

단계 4

$- 5 {(6 - e^{x})}^{4} e^{x}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- 5 e^{x} {(6 - e^{x})}^{4}$