미적분 예제

$y = {(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$

단계 1

합의 법칙에 의해 ${(5 - 2 x)}^{- 3} + \frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [{(5 - 2 x)}^{- 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{- 3}$ , $g (x) = 5 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.1.2

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [5 - 2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.2

합의 법칙에 의해 $5 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.3

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.6

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} (0 - 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.7

$0$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 3 {(5 - 2 x)}^{- 4} \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 2.8

$- 2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{8}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{1}{8} \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$ 입니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} \frac{d}{d x} [{(\frac{2}{x} + 1)}^{4}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \frac{2}{x} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{2}{x} + 1$ 로 바꿉니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{2}{x} + 1$ 로 바꿉니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{2}{x} + 1])$

단계 3.3

합의 법칙에 의해 $\frac{2}{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.4

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.5

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.6

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [1]))$

단계 3.7

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (2 (- x^{- 2}) + 0))$

단계 3.8

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2} + 0))$

단계 3.9

$- 2 x^{- 2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (4 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} (- 2 x^{- 2}))$

단계 3.10

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{1}{8} (- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

단계 3.11

$- 8$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8}{8} ({(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2})$

단계 3.12

${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 와 $\frac{- 8}{8}$ 을 묶습니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8} x^{- 2}$

단계 3.13

$\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8}{8}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} \cdot - 8 x^{- 2}}{8}$

단계 3.14

${(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 \cdot {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} x^{- 2}}{8}$

단계 3.15

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{8 x^{2}}$

단계 3.16

$- 8$ 및 $8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.1

$- 8 {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

단계 3.16.2

공약수로 약분합니다.

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단계 3.16.2.1

$8 x^{2}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 (x^{2})}$

단계 3.16.2.2

공약수로 약분합니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{8 (- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3})}{8 x^{2}}$

단계 3.16.2.3

수식을 다시 씁니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} + \frac{- {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

단계 3.17

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$6 {(5 - 2 x)}^{- 4} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$6 \frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

항을 묶습니다.

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단계 5.1.1

$6$ 와 $\frac{1}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

단계 5.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$

단계 5.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

단계 5.1.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 ${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 5.1.4.1

$\frac{6}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 에 $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}} \cdot \frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$

단계 5.1.4.2

$\frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2}}$ 에 $\frac{{(5 - 2 x)}^{4}}{{(5 - 2 x)}^{4}}$ 을 곱합니다.

$\frac{6 x^{2}}{{(5 - 2 x)}^{4} x^{2}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

단계 5.1.4.3

${(5 - 2 x)}^{4} x^{2}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x^{2}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}} - \frac{{(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

단계 5.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{6 x^{2} - {(\frac{2}{x} + 1)}^{3} {(5 - 2 x)}^{4}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$

단계 5.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6 x^{2} - {(5 - 2 x)}^{4} {(\frac{2}{x} + 1)}^{3}}{x^{2} {(5 - 2 x)}^{4}}$