미적분 예제

$y = \frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{8 e^{x}}{2 e^{x} + 1}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$ 입니다.

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{2 e^{x} + 1}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 2 e^{x} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $2 e^{x} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 e^{x}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 입니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 5

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6.2

식을 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - e^{x} (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x} e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (e^{x} e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{x + x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 7.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$8 \frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 8

$8$ 와 $\frac{(2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{8 ((2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{8 (2 e^{x} e^{x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

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단계 9.3.1.1.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\frac{8 (2 (e^{x} e^{x})) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{8 (2 e^{x + x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.1.1.3

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{8 (2 e^{2 x}) + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.1.2

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 e^{2 x} + 8 (1 e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.1.3

$e^{x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.1.4

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.2

$16 e^{2 x} + 8 e^{x} - 16 e^{2 x}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 9.3.2.1

$16 e^{2 x}$ 에서 $16 e^{2 x}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

단계 9.3.2.2

$8 e^{x}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{8 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$