미적분 예제

$y = {(7 x + 12)}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 7 x + 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $7 x + 12$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

단계 1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $7 x + 12$ 로 바꿉니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [7 x + 12]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $7 x + 12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 가 됩니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [12])$

단계 2.2

$7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $7 x$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12])$

단계 2.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} (7 + \frac{d}{d x} [12])$

단계 2.5

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} (7 + 0)$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(7 x + 12)}^{3} \cdot 7$

단계 2.6.2

$7$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$28 {(7 x + 12)}^{3}$