미적분 예제

$y = {\sin (x)}^{3 x}$

단계 1

로그 성질을 사용하여 미분을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${\sin (x)}^{3 x}$ 을 $e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{3 x})}]$

단계 1.2

$3 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln ({\sin (x)}^{3 x})$ 을 전개합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (\sin (x))}]$

단계 2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 3 x \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

단계 2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x \ln (\sin (x))$ 로 바꿉니다.

$e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [3 x \ln (\sin (x))]$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x \ln (\sin (x))$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$ 입니다.

$e^{3 x \ln (\sin (x))} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))])$

단계 3.2

$e^{3 x \ln (\sin (x))}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$3 \cdot e^{3 x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

단계 4

$f (x) = x$ , $g (x) = \ln (\sin (x))$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.2

$\ln (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{2}}$ 입니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 6

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

단계 8

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

단계 8.2

$\ln (\sin (x))$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

단계 9.2

괄호를 제거합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$3 e^{3 x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + 3 e^{3 x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$