미적분 예제

$y = {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{7}$

단계 1

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = \sin (x) + 5 \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x) + 5 \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

단계 1.2

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x) + 5 \cos (x)$ 로 바꿉니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} \frac{d}{d x} [\sin (x) + 5 \cos (x)]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\sin (x) + 5 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)])$

단계 4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \cos (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

단계 5

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) + 5 (- \sin (x)))$

단계 6

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$7 {(\sin (x) + 5 \cos (x))}^{6} (\cos (x) - 5 \sin (x))$