미적분 예제

$y = {(x + (x + {(\sin^{2} (x))}^{5}))}^{3}$

단계 1

항을 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 1.1

${(\sin^{2} (x))}^{5}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x + {\sin (x)}^{2 \cdot 5})}^{3}]$

단계 1.1.2

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [{(x + x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

단계 1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [{(2 x + \sin^{10} (x))}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 2 x + \sin^{10} (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 x + \sin^{10} (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x + \sin^{10} (x)$ 로 바꿉니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + \sin^{10} (x)]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + \sin^{10} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)]$ 가 됩니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

단계 3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

단계 3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

단계 3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [\sin^{10} (x)])$

단계 4

$f (x) = x^{10}$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{10}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 4.2

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 {u_{2}}^{9} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

단계 5

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$3 {(2 x + \sin^{10} (x))}^{2} (2 + 10 \sin^{9} (x) \cos (x))$