미적분 예제

$y = \frac{{(3 x - 2)}^{6}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

단계 1

$f (x) = {(3 x - 2)}^{6}$ , $g (x) = {(2 x + 5)}^{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{({(2 x + 5)}^{4})}^{2}}$

단계 2

${({(2 x + 5)}^{4})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{4 \cdot 2}}$

단계 2.2

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{6}] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 3

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = 3 x - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 3.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{4} (6 {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

${(2 x + 5)}^{4}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\frac{6 \cdot {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.3

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.6

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.7

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 4.7.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} \frac{d}{d x} [{(2 x + 5)}^{4}]}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 5

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 2 x + 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x + 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 5.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 5.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x + 5$ 로 바꿉니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - {(3 x - 2)}^{6} (4 {(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5])}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.3

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [5]))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.6

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} (2 + 0))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.7

식을 간단히 합니다.

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단계 6.7.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} ({(2 x + 5)}^{3} \cdot 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.7.2

${(2 x + 5)}^{3}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 4 {(3 x - 2)}^{6} (2 \cdot {(2 x + 5)}^{3})}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 6.7.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5} - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ 에서 $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

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단계 7.1.1.1

$18 {(2 x + 5)}^{4} {(3 x - 2)}^{5}$ 에서 $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) - 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.1.2

$- 8 {(3 x - 2)}^{6} {(2 x + 5)}^{3}$ 에서 $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.1.3

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5)) + 2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (- 4 (3 x - 2))$ 에서 $2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x + 5) - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (9 (2 x) + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 9 \cdot 5 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.4

$9$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x - 2))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.6

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x - 4 \cdot - 2)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.7

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (18 x + 45 - 12 x + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.8

$18 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 45 + 8)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.1.9

$45$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.2

${(2 x + 5)}^{3}$ 및 ${(2 x + 5)}^{8}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.1

$2 {(2 x + 5)}^{3} {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)$ 에서 ${(2 x + 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{8}}$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.2.1

${(2 x + 5)}^{8}$ 에서 ${(2 x + 5)}^{3}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{{(2 x + 5)}^{3} (2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53))}{{(2 x + 5)}^{3} {(2 x + 5)}^{5}}$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{5} (6 x + 53)}{{(2 x + 5)}^{5}}$