미적분 예제

$y = \log_{2} ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}})$

단계 1

$f (x) = \log_{2} (x)$ , $g (x) = {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

단계 1.2

$\log_{2} (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}]$

단계 2

$f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ , $g (x) = 2 x^{2} - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $2 x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 2.2

$n = \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {u_{2}}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 2.3

$u_{2}$ 를 모두 $2 x^{2} - x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 6

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 6.2

$5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5}{2} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 7

$\frac{5}{2}$ 와 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)} (\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x])$

단계 8

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 에 $\frac{1}{{(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2)}$ 을 곱합니다.

$\frac{5 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2))} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 9

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}} \ln (2) {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10

분모를 간단히 합니다.

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단계 10.1

지수를 더하여 ${(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}$ 에 ${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 10.1.1

${(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{5}{2 ({(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2}} {(2 x^{2} - x)}^{\frac{5}{2}}) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{- \frac{3}{2} + \frac{5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{- 3 + 5}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10.1.4

$- 3$ 를 $5$ 에 더합니다.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{\frac{2}{2}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{5}{2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 10.2

$2 {(2 x^{2} - x)}^{1} \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x]$

단계 11

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 12

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 13

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 14

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 15

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - \frac{d}{d x} [x])$

단계 16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1 \cdot 1)$

단계 17

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2} - x) \ln (2)} (4 x - 1)$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{(2 (2 x^{2}) + 2 (- x)) \ln (2)} (4 x - 1)$

단계 18.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5}{2 (2 x^{2}) \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

단계 18.3

항을 묶습니다.

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단계 18.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) + 2 (- x) \ln (2)} (4 x - 1)$

단계 18.3.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$

단계 18.4

$\frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)} (4 x - 1)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(4 x - 1) \frac{5}{4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)}$

단계 18.5

$4 x^{2} \ln (2) - 2 x \ln (2)$ 에서 $2 x \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

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단계 18.5.1

$4 x^{2} \ln (2)$ 에서 $2 x \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) - 2 x \ln (2)}$

단계 18.5.2

$- 2 x \ln (2)$ 에서 $2 x \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)}$

단계 18.5.3

$2 x \ln (2) (2 x) + 2 x \ln (2) (- 1)$ 에서 $2 x \ln (2)$ 를 인수분해합니다.

$(4 x - 1) \frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

단계 18.6

$4 x - 1$ 에 $\frac{5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(4 x - 1) \cdot 5}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$

단계 18.7

$4 x - 1$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\frac{5 (4 x - 1)}{2 x \ln (2) (2 x - 1)}$