미적분 예제

$y = \frac{x^{2} + 9}{x}$

단계 1

$f (x) = x^{2} + 9$ , $g (x) = x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9] - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [9]) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 2.4

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

단계 7

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9) \cdot 1}{x^{2}}$

단계 8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 9)}{x^{2}}$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

단계 9.2

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 9}{x^{2}}$

단계 9.2.2

$2 x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{x^{2} - 9}{x^{2}}$

단계 9.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{x^{2}}$

단계 9.3.2

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 3$ 입니다.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{x^{2}}$