미적분 예제

$y = \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

단계 1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{3} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{(x^{3} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.2

$x^{3} - 1$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot (x^{3} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.3

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.4

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - x^{2} (3 x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 2.6.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2} x^{2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 3

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 3.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 (x^{2} x^{2})}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{2 + 2}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 3.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 (x^{3} - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{(2 x^{3} + 2 \cdot - 1) x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{2 (x \cdot x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.2

$x$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.1.1.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 (x^{1} x^{3}) + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 x^{1 + 3} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.1.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{2 x^{4} + 2 \cdot - 1 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x^{4} - 2 x - 3 x^{4}}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$

단계 4.3.2

$2 x^{4}$ 에서 $3 x^{4}$ 을 뺍니다.

$\frac{- x^{4} - 2 x}{{(x^{3} - 1)}^{2}}$