미적분 예제

$y = {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4}}$

단계 1

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ , $g (x) = 2 x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 1.2

$n = \frac{3}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{4} u^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $2 x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 5.2

$3$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 6

분수를 통분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{4} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 6.2

$\frac{3}{4}$ 와 ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 6.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{4}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

단계 7

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 8

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 11

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x + 0)$

단계 12

항을 간단히 합니다.

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단계 12.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} (4 x)$

단계 12.2

$4$ 와 $\frac{3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 3}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

단계 12.3

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}} x$

단계 12.4

$\frac{12}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{12 x}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

단계 12.5

$12 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

단계 13

공약수로 약분합니다.

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단계 13.1

$4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (3 x)}{4 ({(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}})}$

단계 13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 (3 x)}{4 {(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$

단계 13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 x}{{(2 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{4}}}$