미적분 예제

$y = {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{4}$

단계 1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = 4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

단계 1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 로 바꿉니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - x^{- 2} + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $4 x^{3} - x^{- 2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{- 2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ 입니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6

$n = - 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.8

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3} + 0)$

단계 2.9

$12 x^{2} + 2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 {(4 x^{3} - x^{- 2} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

단계 3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 x^{- 3})$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + 2 \frac{1}{x^{3}})$

단계 5

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$4 {(4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 1)}^{3} (12 x^{2} + \frac{2}{x^{3}})$