미적분 예제

$y = {(x^{3} - 4 x)}^{10}$

단계 1

$f (x) = x^{10}$ , $g (x) = x^{3} - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{10}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 1.2

$n = 10$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 u^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 4 x$ 로 바꿉니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4 x]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 4 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 가 됩니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

단계 2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

단계 2.3

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4 \cdot 1)$

단계 2.5

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 {(x^{3} - 4 x)}^{9} (3 x^{2} - 4)$