미적분 예제

$y = {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 10}$

단계 1

$f (x) = x^{- 10}$ , $g (x) = \frac{x}{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{- 10}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

단계 1.2

$n = - 10$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 10 u^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2} - 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $\frac{x}{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} (\frac{1}{2} + 0)$

단계 2.6

항을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$\frac{1}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11} \frac{1}{2}$

단계 2.6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 10$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10}{2} {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$

단계 2.6.3

$\frac{- 10}{2}$ 와 ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 10 {(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}}{2}$

단계 2.6.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(\frac{x}{2} - 1)}^{- 11}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 10}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

단계 2.6.5

$- 10$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.5.1

$- 10$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

단계 2.6.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.6.5.2.1

$2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 ({(\frac{x}{2} - 1)}^{11})}$

단계 2.6.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 {(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

단계 2.6.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$

단계 2.6.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{{(\frac{x}{2} - 1)}^{11}}$