미적분 예제

$y = {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{3}$

단계 1

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

단계 1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 로 바꿉니다.

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{6 x^{2}}{2 - x}]$

단계 2

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$ 입니다.

$3 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} (6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}])$

단계 2.2

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2 - x}]$

단계 3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 2 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{(2 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.2

$2 - x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 \cdot (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [2 - x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.3

합의 법칙에 의해 $2 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.5

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.7

곱합니다.

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단계 4.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.7.2

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.9

분수를 통분합니다.

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단계 4.9.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$18 {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2} \frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 4.9.2

$\frac{2 (2 - x) x + x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ 와 $18$ 을 묶습니다.

$\frac{(2 (2 - x) x + x^{2}) \cdot 18}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

단계 4.9.3

$2 (2 - x) x + x^{2}$ 의 왼쪽으로 $18$ 이동하기

$\frac{18 \cdot (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} {(\frac{6 x^{2}}{2 - x})}^{2}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{6 x^{2}}{2 - x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{{(6 x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.2

$6 x^{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (2 (2 - x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 ((2 \cdot 2 + 2 (- x)) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x + 2 (- x) x + x^{2})}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{18 (2 \cdot 2 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6

항을 묶습니다.

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단계 5.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{18 (4 x) + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.2

$4$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{72 x + 18 (2 (- x) x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x \cdot x) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x)) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{72 x + 18 (- 2 (x^{1} x^{1})) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{1 + 1}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{72 x + 18 (- 2 x^{2}) + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.8

$- 2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$\frac{72 x - 36 x^{2} + 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.9

$- 36 x^{2}$ 를 $18 x^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{6^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.10

$6$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 {(x^{2})}^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.11

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.6.11.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{2 \cdot 2}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.11.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}} \cdot \frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.12

$\frac{72 x - 18 x^{2}}{{(2 - x)}^{2}}$ 에 $\frac{36 x^{4}}{{(2 - x)}^{2}}$ 을 곱합니다.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

단계 5.6.13

지수를 더하여 ${(2 - x)}^{2}$ 에 ${(2 - x)}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.6.13.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{2 + 2}}$

단계 5.6.13.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{(72 x - 18 x^{2}) (36 x^{4})}{{(2 - x)}^{4}}$

단계 5.6.14

$72 x - 18 x^{2}$ 의 왼쪽으로 $36$ 이동하기

$\frac{36 (72 x - 18 x^{2}) x^{4}}{{(2 - x)}^{4}}$

단계 5.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{36 x^{4} (72 x - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.8.1

$72 x - 18 x^{2}$ 에서 $18 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.8.1.1

$72 x$ 에서 $18 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) - 18 x^{2})}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.1.2

$- 18 x^{2}$ 에서 $18 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4) + 18 x (- x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.1.3

$18 x (4) + 18 x (- x)$ 에서 $18 x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{36 x^{4} (18 x (4 - x))}{{(- x + 2)}^{4}}$

$\frac{36 x^{4} \cdot 18 x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.2

지수를 묶습니다.

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단계 5.8.2.1

$18$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$\frac{648 x^{4} x (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{648 (x^{1} x^{4}) (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{648 x^{1 + 4} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$

단계 5.8.2.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{648 x^{5} (4 - x)}{{(- x + 2)}^{4}}$