미적분 예제

$g (x) = 5 \arccos (\frac{x}{4})$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \arccos (\frac{x}{4})$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{4})]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\arccos (\frac{x}{4})]$

단계 2

$f (x) = \arccos (x)$ , $g (x) = \frac{x}{4}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$5 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

단계 2.2

$\arccos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 입니다.

$5 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$5 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}])$

단계 3.2

분수를 통분합니다.

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단계 3.2.1

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\frac{- 5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 3.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 3.3

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} (\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.4

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{5}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}} \cdot 1$

단계 3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - {(\frac{x}{4})}^{2}}}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{x}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4^{2}}}}$

단계 4.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{5}{4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{16}}}$