미적분 예제

$g (x) = (\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}})$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{5 x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{3} - 6)}^{2}}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{3} - 6)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}}$

단계 3

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

${({(x^{3} - 6)}^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{2 \cdot 2}}$

단계 3.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 3.3

${(x^{3} - 6)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 6)}^{2}]}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{3} - 6$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{3} - 6$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 4.3

$u$ 를 모두 $x^{3} - 6$ 로 바꿉니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - x (2 (x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 \frac{{(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 5.2

${(x^{3} - 6)}^{2} - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ 에서 $x^{3} - 6$ 를 인수분해합니다.

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단계 5.2.1

${(x^{3} - 6)}^{2}$ 에서 $x^{3} - 6$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) - 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 5.2.2

$- 2 x ((x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{3} - 6])$ 에서 $x^{3} - 6$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 5.2.3

$(x^{3} - 6) (x^{3} - 6) + (x^{3} - 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))$ 에서 $x^{3} - 6$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{{(x^{3} - 6)}^{4}}$

단계 6

공약수로 약분합니다.

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단계 6.1

${(x^{3} - 6)}^{4}$ 에서 $x^{3} - 6$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 6.2

공약수로 약분합니다.

$5 \frac{(x^{3} - 6) (x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6]))}{(x^{3} - 6) {(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 6.3

수식을 다시 씁니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3} - 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 7

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 8

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 9

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 2 x (3 x^{2})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 10.2

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x \cdot x^{2}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 11

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 11.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 11.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 11.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 (x^{2} x^{1})}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{2 + 1}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 11.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$5 \frac{x^{3} - 6 - 6 x^{3}}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 12

$x^{3}$ 에서 $6 x^{3}$ 을 뺍니다.

$5 \frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 13

$5$ 와 $\frac{- 5 x^{3} - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 14.2.1

$- 5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{- 25 x^{3} + 5 \cdot - 6}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.2.2

$5$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$\frac{- 25 x^{3} - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.3

$- 25 x^{3} - 30$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

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단계 14.3.1

$- 25 x^{3}$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) - 30}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.3.2

$- 30$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.3.3

$5 (- 5 x^{3}) + 5 (- 6)$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- 5 x^{3} - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.4

$- 5 x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.5

$- 6$ 을 $- 1 (6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 (- (5 x^{3}) - 1 (6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.6

$- (5 x^{3}) - 1 (6)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (- (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.7

$- (5 x^{3} + 6)$ 을 $- 1 (5 x^{3} + 6)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{5 (- 1 (5 x^{3} + 6))}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$

단계 14.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{5 (5 x^{3} + 6)}{{(x^{3} - 6)}^{3}}$