미적분 예제

$G (x) = {(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$

단계 1

합의 법칙에 의해 ${(\frac{1}{x})}^{4} - \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [{(\frac{1}{x})}^{4}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \frac{1}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.1.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.1.3

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 {(\frac{1}{x})}^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 2.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \ln (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 입니다.

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 3.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} x^{- 2} - \frac{1}{x}$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 4 {(\frac{1}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

단계 4.2

$\frac{1}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- 4 \frac{1^{3}}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.3.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- 4 \frac{1}{x^{3}} \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3.2

$- 4$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3.4

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $\frac{4}{x^{3}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{4}{x^{2} x^{3}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{3}$ 을 곱합니다.

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단계 4.3.5.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{4}{x^{2 + 3}} - \frac{1}{x}$

단계 4.3.5.2

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- \frac{4}{x^{5}} - \frac{1}{x}$

단계 4.4

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{5}}$