미적분 예제

$\ln (\sqrt[5]{x^{2} + 1})$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[5]{x^{2} + 1}$ 을(를) ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}})]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 2.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 2.3

$u_{1}$ 를 모두 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}]$

단계 3

$f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ , $g (x) = x^{2} + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{5}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {u_{2}}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 7.2

$1$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 9

$\frac{1}{5}$ 와 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 10

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{4}{5}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} (\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

단계 11

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}}$ 에 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 12

지수를 더하여 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}}$ 에 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ 을 곱합니다.

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단계 12.1

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{5 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{4}{5}})} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 12.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 4}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 12.4

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 12.5

$5$ 을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{5 {(x^{2} + 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 13

$5 {(x^{2} + 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 14

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 15

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

단계 16

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x + 0)$

단계 17

분수를 통분합니다.

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단계 17.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{5 (x^{2} + 1)} (2 x)$

단계 17.2

$2$ 와 $\frac{1}{5 (x^{2} + 1)}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)} x$

단계 17.3

$\frac{2}{5 (x^{2} + 1)}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{2 x}{5 (x^{2} + 1)}$