미적분 예제

$\ln (\sqrt{x} + 2)$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}} + 2)]$

단계 2

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

단계 2.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

단계 2.3

$u$ 를 모두 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 2]$

단계 3

미분합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}} + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2])$

단계 3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 7

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 8

분수를 통분합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 8.2

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2])$

단계 9

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 10.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + 2}$ 에 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} + 2) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

단계 10.3

$x^{\frac{1}{2}} + 2$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 \cdot (x^{\frac{1}{2}} + 2) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{(2 x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2) x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3

항을 묶습니다.

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단계 11.3.1

지수를 더하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 11.3.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2 x^{1} + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.2

$2 x^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{2 x + 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.3.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.4

$2 x + 4 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.4.1

$2 x$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 4 x^{\frac{1}{2}}}$

단계 11.4.2

$4 x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)}$

단계 11.4.3

$2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} (2)$ 에서 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 2)}$