미적분 예제

$\ln (- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1)$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = - x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.5

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.7

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [135 x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.8

$135$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $135 x$ 의 미분은 $135 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.10

$135$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 2.11

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135 + 0)$

단계 2.12

$- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1} (- 3 x^{2} + 12 x + 135)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$(- 3 x^{2} + 12 x + 135) \frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.2

$- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 에 $\frac{1}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$ 을 곱합니다.

$\frac{- 3 x^{2} + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$- 3 x^{2} + 12 x + 135$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1.1

$- 3 x^{2}$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2}) + 12 x + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.1.2

$12 x$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 135}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.1.3

$135$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.1.4

$3 (- x^{2}) + 3 (4 x)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.1.5

$3 (- x^{2} + 4 x) + 3 (45)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 45 = - 45$ 이고 합이 $b = 4$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.3.2.1.1

$4 x$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- x^{2} + 4 (x) + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2.1.2

$4$ 를 $- 5$ + $9$ 로 다시 씁니다.

$\frac{3 (- x^{2} + (- 5 + 9) x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (- x^{2} - 5 x + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.3.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$\frac{3 ((- x^{2} - 5 x) + 9 x + 45)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\frac{3 (x (- x - 5) - 9 (- x - 5))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.3.2.3

최대공약수 $- x - 5$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$\frac{3 ((- x - 5) (x - 9))}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.4

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x) - 5) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.5

$- 5$ 을 $- 1 (5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- (x) - 1 (5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.6

$- (x) - 1 (5)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.7

$- (x + 5)$ 을 $- 1 (x + 5)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- x^{3} + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.8

$- x^{3}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 6 x^{2} + 135 x + 1}$

단계 3.9

$6 x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

단계 3.10

$- (x^{3}) - (- 6 x^{2})$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) + 135 x + 1}$

단계 3.11

$135 x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x) + 1}$

단계 3.12

$- (x^{3} - 6 x^{2}) - (- 135 x)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) + 1}$

단계 3.13

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)}$

단계 3.14

$- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x) - 1 (- 1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

단계 3.15

$- (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ 을 $- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

단계 3.16

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (- 1 (x + 5)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1)}$

단계 3.17

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (x + 5) (x - 9)}{x^{3} - 6 x^{2} - 135 x - 1}$