미적분 예제

$\ln (x^{k})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = x^{k}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{k}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{k}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $x^{k}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{x^{k}} \frac{d}{d x} [x^{k}]$

단계 2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1

$n = k$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{x^{k}} (k x^{k - 1})$

단계 2.2

항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

$k$ 와 $\frac{1}{x^{k}}$ 을 묶습니다.

$\frac{k}{x^{k}} x^{k - 1}$

단계 2.2.2

$\frac{k}{x^{k}}$ 와 $x^{k - 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{k x^{k - 1}}{x^{k}}$

단계 2.2.3

$x^{k - 1}$ 및 $x^{k}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.1

$k x^{k - 1}$ 에서 $x^{k}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k}}$

단계 2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.3.2.1

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

단계 2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{k} (k x^{- 1})}{x^{k} \cdot 1}$

단계 2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{k x^{- 1}}{1}$

단계 2.2.3.2.4

$k x^{- 1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$k x^{- 1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$k \frac{1}{x}$

단계 3.2

$k$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{k}{x}$