미적분 예제

$\ln (3 + e^{x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = 3 + e^{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

단계 1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

단계 1.3

$u$ 를 모두 $3 + e^{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 + e^{x}} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $3 + e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3 + e^{x}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.2

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$\frac{1}{3 + e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

단계 2.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3 + e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

단계 3

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 은 $a^{x} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3 + e^{x}} e^{x}$

단계 4

$\frac{1}{3 + e^{x}}$ 와 $e^{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$