미적분 예제

$\ln (\frac{e}{e - x})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{e}{e - x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{e}{e - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{e}{e - x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{e}{e - x}} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

단계 2

$\frac{e}{e - x}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 \frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

단계 3

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

$\frac{e - x}{e}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{e - x}{e} \frac{d}{d x} [\frac{e}{e - x}]$

단계 3.2

$e$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{e}{e - x}$ 의 미분은 $e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$ 입니다.

$\frac{e - x}{e} (e \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}])$

단계 3.3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$e$ 와 $\frac{e - x}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

단계 3.3.2

$e$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{e (e - x)}{e} \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

단계 3.3.2.2

$e - x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(e - x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{e - x}]$

단계 3.3.3

$\frac{1}{e - x}$ 을 ${(e - x)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(e - x) \frac{d}{d x} [{(e - x)}^{- 1}]$

단계 4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = e - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $e - x$ 로 바꿉니다.

$(e - x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [e - x])$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(e - x) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $e - x$ 로 바꿉니다.

$(e - x) (- {(e - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [e - x])$

단계 5

$e - x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- ({(e - x)}^{1} {(e - x)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [e - x]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- {(e - x)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [e - x]$

단계 7

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [e - x]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $e - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$- {(e - x)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [e] + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 9

$e$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $e$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $e$ 입니다.

$- {(e - x)}^{- 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

단계 10

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$- {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [- x]$

단계 11

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- {(e - x)}^{- 1} (- \frac{d}{d x} [x])$

단계 12

곱합니다.

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단계 12.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 {(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 12.2

${(e - x)}^{- 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(e - x)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x]$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

${(e - x)}^{- 1} \cdot 1$

단계 14

${(e - x)}^{- 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(e - x)}^{- 1}$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e - x}$

단계 15.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{- x + e}$

단계 15.3

$- x$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- (x) + e}$

단계 15.4

$e$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- (x) - 1 (- e)}$

단계 15.5

$- (x) - 1 (- e)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{- (x - e)}$

단계 15.6

$- (x - e)$ 을 $- 1 (x - e)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{- 1 (x - e)}$

단계 15.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{x - e}$