미적분 예제

$\ln (\frac{1}{x + 1})$

단계 1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \frac{1}{x + 1}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 1.2

$\ln (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{1}{x + 1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\frac{1}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 2

$\frac{1}{x + 1}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$1 (x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 3

식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$x + 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 1}]$

단계 3.2

$\frac{1}{x + 1}$ 을 ${(x + 1)}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$(x + 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 1}]$

단계 4

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$(x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x + 1) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 4.3

$u_{2}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$(x + 1) (- {(x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 1])$

단계 5

$x + 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$- ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- {(x + 1)}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 7

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- {(x + 1)}^{- 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$- {(x + 1)}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

단계 9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

단계 10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- {(x + 1)}^{- 1} (1 + 0)$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- {(x + 1)}^{- 1} \cdot 1$

단계 11.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- {(x + 1)}^{- 1}$

단계 12

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x + 1}$