미적분 예제

$f (x) = \arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$

단계 1

합의 법칙에 의해 $\arctan (\frac{30}{x}) - \arctan (\frac{10}{x})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{30}{x})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{30}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\frac{30}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.1.2

$\arctan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{30}{x}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{30}{x}] + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.2

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{30}{x}$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.3

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.4

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (30 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.5

$- 1$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} (- 30 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.6

$- 30$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.7

$\frac{- 30}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 30 x^{- 2}}{1 + {(\frac{30}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{- 30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 2.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$

단계 3

$\frac{d}{d x} [- \arctan (\frac{10}{x})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \arctan (\frac{10}{x})$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$ 입니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{10}{x})]$

단계 3.2

$f (x) = \arctan (x)$ , $g (x) = \frac{10}{x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{10}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

단계 3.2.2

$\arctan (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ 입니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

단계 3.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{10}{x}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{10}{x}])$

단계 3.3

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{10}{x}$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 입니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]))$

단계 3.4

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]))$

단계 3.5

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (10 (- x^{- 2})))$

단계 3.6

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} (- 10 x^{- 2}))$

단계 3.7

$- 10$ 와 $\frac{1}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - (\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}} x^{- 2})$

단계 3.8

$\frac{- 10}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$ 와 $x^{- 2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10 x^{- 2}}{1 + {(\frac{10}{x})}^{2}}$

단계 3.9

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $x^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{- 10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 3.10

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} - - \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 3.11

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + 1 \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 3.12

$\frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{(1 + {(\frac{30}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{30}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + {(\frac{10}{x})}^{2}) x^{2}}$

단계 4.2

$\frac{10}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{30}{(1 + \frac{30^{2}}{x^{2}}) x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 4.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{(1 + \frac{10^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

단계 4.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{30}{1 x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{30^{2}}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.2

$30$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900}{x^{2}} x^{2}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.3

$\frac{900}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.4

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + \frac{900 x^{2}}{x^{2}}} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.4.2

$900$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{1 x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.5

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{10^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.6

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100}{x^{2}} x^{2}}$

단계 4.5.7

$\frac{100}{x^{2}}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.5.8

$x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.8.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + \frac{100 x^{2}}{x^{2}}}$

단계 4.5.8.2

$100$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

단계 4.5.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{30}{x^{2} + 900}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100}$

단계 4.5.10

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{10}{x^{2} + 100}$ 을 표현하기 위해 $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ 을 곱합니다.

$- \frac{30}{x^{2} + 900} \cdot \frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

단계 4.5.11

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.11.1

$\frac{30}{x^{2} + 900}$ 에 $\frac{x^{2} + 100}{x^{2} + 100}$ 을 곱합니다.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10}{x^{2} + 100} \cdot \frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$

단계 4.5.11.2

$\frac{10}{x^{2} + 100}$ 에 $\frac{x^{2} + 900}{x^{2} + 900}$ 을 곱합니다.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.5.11.3

$(x^{2} + 900) (x^{2} + 100)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)} + \frac{10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.5.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 30 (x^{2} + 100) + 10 (x^{2} + 900)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.6

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$10 (x^{2} + 900) - 30 (x^{2} + 100)$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1.1

$- 30 (x^{2} + 100)$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.1.2

$10 (x^{2} + 900) + 10 (- 3 (x^{2} + 100))$ 에서 $10$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 (x^{2} + 100))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 3 \cdot 100)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.3

$- 3$ 에 $100$ 을 곱합니다.

$\frac{10 (x^{2} + 900 - 3 x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.4

$x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 900 - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.5

$900$ 에서 $300$ 을 뺍니다.

$\frac{10 (- 2 x^{2} + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.6

$- 2 x^{2} + 600$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.6.1

$- 2 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 600)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.6.2

$600$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 (2 (- x^{2}) + 2 (300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.6.3

$2 (- x^{2}) + 2 (300)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{10 (2 (- x^{2} + 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

$\frac{10 \cdot 2 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.7.7

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 (- x^{2} + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.8

$- x^{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 (- (x^{2}) + 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.9

$300$ 을 $- 1 (- 300)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (- 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.10

$- (x^{2}) - 1 (- 300)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{20 (- (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.11

$- (x^{2} - 300)$ 을 $- 1 (x^{2} - 300)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{20 (- 1 (x^{2} - 300))}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$

단계 4.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{20 (x^{2} - 300)}{(x^{2} + 100) (x^{2} + 900)}$